Enunciado
No plano cartesiano $Oxy$, estão marcados 8 pontos distintos no primeiro quadrante, cujas coordenadas são: $A = (1,a)$ $B = (1,b)$ $C = (1,c)$ $D = (1,d)$ $E = (2,e)$ $F = (2,f)$ $G = (2,g)$ $H = (2,h)$. A partir dos dados apresentados, julgue o item subsequente. Se $2c = b + d$ e $c - b = g - f$, então a área do triângulo CDG é um terço da área do quadrilátero BDGF.
Gabarito e comentário
Resposta correta: CERTO
Temos os pontos: $B = (1,b)$, $C = (1,c)$, $D = (1,d)$, $F = (2,f)$, $G = (2,g)$. A condição $2c = b + d$ significa que $c$ está exatamente no meio entre $b$ e $d$: $c - b = d - c = x$ A outra condição é $c - b = g - f$, portanto $g - f = x$, ou seja $GF = x$. **Área do triângulo CDG** (base $CD = x$, altura = distância horizontal entre $x=1$ e $x=2$, ou seja, 1): $A_{CDG} = \frac{1}{2} \times x \times 1 = \frac{x}{2}$ **Área do quadrilátero BDGF** (trapézio com bases verticais $BD = 2x$ e $GF = x$, altura horizontal = 1): $A_{BDGF} = \frac{(2x + x)}{2} \times 1 = \frac{3x}{2}$ Comparando: $\frac{A_{CDG}}{A_{BDGF}} = \frac{x/2}{3x/2} = \frac{1}{3}$ Portanto, a área do triângulo CDG é de fato um terço da área do quadrilátero BDGF. Gabarito: CERTO