CESGRANRIO — Técnico de Administração e Controle Júnior — Geometria analítica — parábola e circunferência — 2018
Banca
CESGRANRIO
Órgão
PETROBRAS
Prova
PETROBRAS — Técnico de Administração e Controle Júnior — 2018
Ano
2018
Disciplina
Matemática
Assunto
Geometria analítica — parábola e circunferência
Cargo
Técnico de Administração e Controle Júnior
Enunciado
O centro da circunferência λ: x² + y² - 2x - 4y = 4 é o foco de uma parábola cuja diretriz é o eixo Ox do plano cartesiano. A equação dessa parábola é
Alternativas
A)
x² – 2x – 4y + 5 =
B)
x² – 4x – y + 5 =
C)
x² – 4x – 2y + 5 =
D)
x² – 2x – 2y + 5 =
E)
x² + 2x + 4y + 5 =
Gabarito e comentário
Resposta correta: A
Olá, futuros servidores! Vamos desvendar essa questão de geometria analítica, que é um tema recorrente em concursos. **1. Por que a alternativa A está correta?** Primeiro, encontramos o centro da circunferência $\lambda: x^2 + y^2 - 2x - 4y = 4$. Completando quadrados, temos $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = 4 + 1 + 4$, que resulta em $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$. O centro da circunferência é $C(1, 2)$. Este centro é o foco da parábola, então $F(1, 2)$. A diretriz é o eixo Ox, ou seja, a reta $y=0$. A definição de parábola é o conjunto de pontos equidistantes do foco e da diretriz. Seja $P(x, y)$ um ponto da parábola. Distância de $P$ ao foco $F(1, 2)$: $\sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2}$ Distância de $P$ à diretriz $y=0$: $|y|$ Igualando as distâncias: $\sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2} = |y|$ Elevando ambos os lados ao quadrado: $(x-1)^2 + (y-2)^2 = y^2$ $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = y^2$
Olá, futuros servidores! Vamos desvendar essa questão de geometria analítica, que é um tema recorrente em concursos. **1. Por que a alternativa A está correta?** Primeiro, encontramos o centro da circunferência $\lambda: x^2 + y^2 - 2x - 4y = 4$. Completando quadrados, temos $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = 4 + 1 + 4$, que resulta em $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$. O centro da circunferência é $C(1, 2)$. Este centro é o foco da parábola, então $F(1, 2)$. A diretriz é o eixo Ox, ou seja, a reta $y=0$. A definição de parábola é o conjunto de pontos equidistantes do foco e da diretriz. Seja $P(x, y)$ um ponto da parábola. Distância de $P$ ao foco $F(1, 2)$: $\sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2}$ Distância de $P$ à diretriz $y=0$: $|y|$ Igualando as distâncias: $\sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2} = |y|$ Elevando ambos os lados ao quadrado: $(x-1)^2 + (y-2)^2 = y^2$ $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = y^2$