CFAQ/MOC/MOM — Condutor de Embarcações (CDM) — Equações trigonométricas — uso de identidades e ângulos múltiplos — 2025

Banca
CFAQ/MOC/MOM
Órgão
CFAQ/MOC/MOM
Prova
CFAQ/MOC/MOM — Condutor de Embarcações (CDM) — 2025
Ano
2025
Disciplina
Matemática
Assunto
Equações trigonométricas — uso de identidades e ângulos múltiplos
Cargo
Condutor de Embarcações (CDM)

Enunciado

Encontre o conjunto solução da equação $\operatorname{sen}^{3} x \cos x-\operatorname{sen} x \cos ^{3} x=\frac{1}{4}$

Alternativas

  1. A)

    $S=\left\{\frac{\pi}{6}+k \pi ; k \in Z\right\}$

  2. B)

    $S=\left\{-\frac{\pi}{4}+k \pi ; k \in Z\right\}$

  3. C)

    $S=\left\{\frac{\pi}{3}+k \frac{\pi}{2} ; k \in Z\right\}$

  4. D)

    $S=\left\{-\frac{\pi}{8}+k \frac{\pi}{2} ; k \in Z\right\}$

  5. E)

    $S=\left\{\frac{\pi}{12}+k \pi ; k \in Z\right\}$

Gabarito e comentário

Resposta correta: D

A equação dada é $\operatorname{sen}^{3} x \cos x-\operatorname{sen} x \cos ^{3} x=\frac{1}{4}$. Podemos fatorar $\operatorname{sen} x \cos x$: $\operatorname{sen} x \cos x (\operatorname{sen}^{2} x - \cos^{2} x) = \frac{1}{4}$ Sabemos que $\operatorname{sen} x \cos x = \frac{1}{2} \operatorname{sen}(2x)$ e $\operatorname{sen}^{2} x - \cos^{2} x = -(\cos^{2} x - \operatorname{sen}^{2} x) = -\cos(2x)$. Substituindo na equação: $\frac{1}{2} \operatorname{sen}(2x) (-\cos(2x)) = \frac{1}{4}$ $-\frac{1}{2} \operatorname{sen}(2x) \cos(2x) = \frac{1}{4}$ Multiplicando por $-2$: $\operatorname{sen}(2x) \cos(2x) = -\frac{1}{2}$ Novamente, usando a identidade $\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \operatorname{sen}(2\alpha)$, com $\alpha = 2x$: $\frac{1}{2} \operatorname{sen}(2 \cdot 2x) = -\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2} \operatorname{sen}(4x) = -\frac{1}{2}$ $\operatorname{sen}(4x) = -1$ A solução geral para $\operatorname{sen} \theta = -1$ é $\theta = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, onde $k \

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