CFAQ/MOC/MOM — Condutor de Tráfego de Superfície (CTS) — Divisibilidade por 9 em números formados pela reversão de algarismos — 2025
Banca
CFAQ/MOC/MOM
Órgão
CFAQ/MOC/MOM
Prova
CFAQ/MOC/MOM — Condutor de Tráfego de Superfície (CTS) — 2025
Ano
2025
Disciplina
Matemática
Assunto
Divisibilidade por 9 em números formados pela reversão de algarismos
Cargo
Condutor de Tráfego de Superfície (CTS)
Enunciado
33ª Questão Seja X um número qualquer, inteiro e positivo, e seja Y o número inteiro que se obtém invertendo a ordem dos algarismos de X. Pode-se afirmar que a diferença X – Y é sempre um número: (a) Múltiplo de 6. (b) Positivo. (c) Par. (d) Divisível por 9.
Alternativas
A)
Múltiplo de 6.
B)
Positivo.
C)
Par.
D)
Divisível por 9.
Gabarito e comentário
Resposta correta: D
Seja $X$ um número com algarismos $a_n a_{n-1} ... a_1 a_0$. Podemos escrevê-lo como: $X = a_n 10^n + a_{n-1} 10^{n-1} + ... + a_1 10^1 + a_0 10^0$. O número $Y$ é obtido invertendo a ordem dos algarismos de $X$, então: $Y = a_0 10^n + a_1 10^{n-1} + ... + a_{n-1} 10^1 + a_n 10^0$. A diferença $X - Y$ é: $X - Y = (a_n 10^n + ... + a_0) - (a_0 10^n + ... + a_n)$ $X - Y = a_n (10^n - 1) + a_{n-1} (10^{n-1} - 10^1) + ... + a_1 (10^1 - 10^{n-1}) + a_0 (10^0 - 10^n)$ Para verificar a divisibilidade por 9, usamos o critério da soma dos algarismos. A soma dos algarismos de $X$ é $S_X = a_n + a_{n-1} + ... + a_0$. A soma dos algarismos de $Y$ é $S_Y = a_0 + a_1 + ... + a_n$. Claramente, $S_X = S_Y$. Sabemos que um número é congruente à soma de seus algarismos módulo 9.
Seja $X$ um número com algarismos $a_n a_{n-1} ... a_1 a_0$. Podemos escrevê-lo como: $X = a_n 10^n + a_{n-1} 10^{n-1} + ... + a_1 10^1 + a_0 10^0$. O número $Y$ é obtido invertendo a ordem dos algarismos de $X$, então: $Y = a_0 10^n + a_1 10^{n-1} + ... + a_{n-1} 10^1 + a_n 10^0$. A diferença $X - Y$ é: $X - Y = (a_n 10^n + ... + a_0) - (a_0 10^n + ... + a_n)$ $X - Y = a_n (10^n - 1) + a_{n-1} (10^{n-1} - 10^1) + ... + a_1 (10^1 - 10^{n-1}) + a_0 (10^0 - 10^n)$ Para verificar a divisibilidade por 9, usamos o critério da soma dos algarismos. A soma dos algarismos de $X$ é $S_X = a_n + a_{n-1} + ... + a_0$. A soma dos algarismos de $Y$ é $S_Y = a_0 + a_1 + ... + a_n$. Claramente, $S_X = S_Y$. Sabemos que um número é congruente à soma de seus algarismos módulo 9.