Enunciado
Em um grupo de 32 alunos da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante, foi verificado que todos eles têm alturas diferentes. O mais baixo dos homens é mais alto do que três mulheres; o segundo homem mais baixo é mais alto do que quatro mulheres; o terceiro homem mais baixo é mais alto do que cinco mulheres e assim por diante, observando-se que o mais alto dos homens é mais alto do que todas as mulheres. Quantas mulheres há nesse grupo? (a) 15 (b) 17 (c) 18 (d) 19
Alternativas
- A)
15
- B)
17
- C)
18
- D)
19
Gabarito e comentário
Resposta correta: B
Seja $H$ o número de homens e $M$ o número de mulheres. Sabemos que $H + M = 32$. Vamos ordenar os homens por altura, do mais baixo para o mais alto: $h_1, h_2, h_3, ..., h_H$. Vamos ordenar as mulheres por altura, do mais baixo para o mais alto: $m_1, m_2, m_3, ..., m_M$. De acordo com o problema: - O mais baixo dos homens ($h_1$) é mais alto do que 3 mulheres. Isso significa que $h_1 > m_3$. - O segundo homem mais baixo ($h_2$) é mais alto do que 4 mulheres. Isso significa que $h_2 > m_4$. - O terceiro homem mais baixo ($h_3$) é mais alto do que 5 mulheres. Isso significa que $h_3 > m_5$. Observamos um padrão: o $k$-ésimo homem mais baixo ($h_k$) é mais alto do que $(k+2)$ mulheres. Isso pode ser escrito como $h_k > m_{k+2}$. O mais alto dos homens é $h_H$. Seguindo o padrão, ele é mais alto do que $(H+2)$ mulheres. O problema afirma que o mais alto dos homens é mais alto do que todas as mulheres. Isso significa que $h_H > m_M$. Portanto, o número de mulheres que $h_H$ é mais alto do que é $M$. Então, $M = H+2$. Agora temos um sistema de equações: 1) $H + M = 32$ 2) $M = H + 2$ Substituindo (2) em (1): $H + (