CFAQ/MOC/MOM — Eletricista (ELT) — Contagem combinatória: distribuir objetos distintos em caixas com restrições — 2025
Banca
CFAQ/MOC/MOM
Órgão
CFAQ/MOC/MOM
Prova
CFAQ/MOC/MOM — Eletricista (ELT) — 2025
Ano
2025
Disciplina
Matemática
Assunto
Contagem combinatória: distribuir objetos distintos em caixas com restrições
Cargo
Eletricista (ELT)
Enunciado
Temos 4 caixas nas quais devemos colocar 9 bolas diferentes. De quantas maneiras é possível distribuir essas bolas, sabendo-se que na primeira caixa devem ser colocadas 2 bolas, na última caixa 3 bolas e o restante das bolas nas demais caixas, respectivamente?
Alternativas
A)
21060
B)
20160
C)
20060
D)
2160
E)
2016
Gabarito e comentário
Resposta correta: B
A questão envolve a distribuição de bolas diferentes em caixas, com restrições específicas para algumas caixas. Trata-se de um problema de arranjo ou combinação, onde a ordem das bolas dentro de cada caixa não importa, mas a escolha das bolas para cada caixa sim. 1. **Escolha para a 1ª caixa:** Precisamos selecionar 2 bolas das 9 disponíveis para a primeira caixa. O número de maneiras de fazer isso é dado por uma combinação: $C(9, 2) = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ 2. **Escolha para a 4ª (última) caixa:** Restam $9 - 2 = 7$ bolas. Precisamos selecionar 3 dessas 7 bolas para a última caixa: $C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 3. **Distribuição das bolas restantes:** Restam $7 - 3 = 4$ bolas. As caixas restantes são a 2ª e a 3ª. Cada uma dessas 4 bolas restantes pode ir para a 2ª ou para a 3ª caixa. Para cada bola, há 2 opções de caixa. Como são 4 bolas, o número de maneiras de distribuí-las é: $2^4 = 16$ 4. **Total de maneiras:** Para encontrar o número total de maneiras de distribuir as bolas, multiplicamos o número de possibilidades em cada etapa: $36 \times 35 \times 16 = 20160$ Gabarito:
A questão envolve a distribuição de bolas diferentes em caixas, com restrições específicas para algumas caixas. Trata-se de um problema de arranjo ou combinação, onde a ordem das bolas dentro de cada caixa não importa, mas a escolha das bolas para cada caixa sim. 1. **Escolha para a 1ª caixa:** Precisamos selecionar 2 bolas das 9 disponíveis para a primeira caixa. O número de maneiras de fazer isso é dado por uma combinação: $C(9, 2) = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ 2. **Escolha para a 4ª (última) caixa:** Restam $9 - 2 = 7$ bolas. Precisamos selecionar 3 dessas 7 bolas para a última caixa: $C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 3. **Distribuição das bolas restantes:** Restam $7 - 3 = 4$ bolas. As caixas restantes são a 2ª e a 3ª. Cada uma dessas 4 bolas restantes pode ir para a 2ª ou para a 3ª caixa. Para cada bola, há 2 opções de caixa. Como são 4 bolas, o número de maneiras de distribuí-las é: $2^4 = 16$ 4. **Total de maneiras:** Para encontrar o número total de maneiras de distribuir as bolas, multiplicamos o número de possibilidades em cada etapa: $36 \times 35 \times 16 = 20160$ Gabarito: