CFAQ/MOC/MOM — Eletricista (ELT) — Polinômios — divisibilidade e resto (teorema do resto) — 2025

Para que a divisão de $f(x)$ por $g(x)$ seja exata, o resto da divisão deve ser zero. Primeiro, simplificamos $g(x)$: $g(x) = 2X^2+2X-6 = 2(X^2+X-3)$. As raízes de $X^2+X-3=0$ são dadas por $X = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$. Como as raízes são irracionais, é mais prático usar o método da chave ou o Teorema do Resto de forma adaptada. Vamos realizar a divisão polinomial de $f(x)=X^3+CX+Q$ por $X^2+X-3$. $ \begin{array}{r|l} X^3+0X^2+CX+Q & X^2+X-3 \\ \cline{2-2} -(X^3+X^2-3X) & X-1 \\ \hline -X^2+(C+3)X+Q & \\ -(-X^2-X+3) & \\ \hline (C+3+1)X+(Q-3) & \\ (C+4)X+(Q-3) & \end{array} $ Para que a divisão seja exata, o resto deve ser zero. Portanto, $(C+4)X+(Q-3) = 0$. Isso implica que os coeficientes devem ser zero: $C+4 = 0 \Rightarrow C = -4$