11ª Questão Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face “6” saía com o dobro de frequência da face “1” e que as outras faces saíam com a frequência esperada de um dado não viciado. Qual a frequência da face “1”? (A) $\frac{1}{3}$ (B) $\frac{2}{3}$ (C) $\frac{1}{9}$ (D) $\frac{2}{9}$ (E) $\frac{1}{12}$
Alternativas
A)
1/3
B)
2/3
C)
1/9
D)
2/9
E)
1/12
Gabarito e comentário
Resposta correta: C
Seja $P(x)$ a probabilidade de sair a face $x$. Para um dado não viciado, $P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \frac{1}{6}$. No problema, as faces $2, 3, 4, 5$ saem com a frequência esperada, ou seja, $P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = \frac{1}{6}$. A face $6$ sai com o dobro da frequência da face $1$, então $P(6) = 2 \cdot P(1)$. A soma das probabilidades de todas as faces deve ser $1$: $P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1$ Substituindo os valores conhecidos: $P(1) + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + 2 \cdot P(1) = 1$ $P(1) + 4 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot P(1) = 1$ $3 \cdot P(1) + \frac{4}{6} = 1$ $3 \cdot P(1) + \frac{2}{3} = 1$ $3 \cdot P(1) = 1 - \frac{2}{3}$ $3 \cdot P(1) = \frac{3-2}{3}$ $3 \cdot P(1) = \frac{1}{3}$ $P(1) = \frac
Seja $P(x)$ a probabilidade de sair a face $x$. Para um dado não viciado, $P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \frac{1}{6}$. No problema, as faces $2, 3, 4, 5$ saem com a frequência esperada, ou seja, $P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = \frac{1}{6}$. A face $6$ sai com o dobro da frequência da face $1$, então $P(6) = 2 \cdot P(1)$. A soma das probabilidades de todas as faces deve ser $1$: $P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1$ Substituindo os valores conhecidos: $P(1) + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + 2 \cdot P(1) = 1$ $P(1) + 4 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot P(1) = 1$ $3 \cdot P(1) + \frac{4}{6} = 1$ $3 \cdot P(1) + \frac{2}{3} = 1$ $3 \cdot P(1) = 1 - \frac{2}{3}$ $3 \cdot P(1) = \frac{3-2}{3}$ $3 \cdot P(1) = \frac{1}{3}$ $P(1) = \frac