CFAQ/MOC/MOM — Moço de Máquinas (MOM) — Decomposição em fatores primos e divisores — 2025

Sejam as idades dos quatro irmãos $a, b, c, d$, com $a < b < c < d$. Sabemos que $a \cdot b \cdot c \cdot d = 180$ e $d < 12$. Para maximizar a soma $a+b+c+d$, devemos escolher os menores valores possíveis para $a, b, c$ e o maior valor possível para $d$. Vamos listar os divisores de 180: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, ... Como $d < 12$, os possíveis valores para $d$ são 10 ou 9. Caso 1: $d = 10$ Então $a \cdot b \cdot c = 180 / 10 = 18$. As idades devem ser diferentes e menores que 10. Para maximizar a soma, escolhemos os menores $a, b, c$ possíveis. Se $a=1, b=2, c=9$, então $1 \cdot 2 \cdot 9 = 18$. As idades seriam 1, 2, 9, 10. Todas diferentes e $d=10 < 12$. Soma: $1+2+9+10 = 22$. Caso 2: $d = 9$ Então $a \cdot b \cdot c = 180 / 9 = 20$. As idades devem ser diferentes e menores que 9. Se $a=1, b=2, c=10$, mas $c$ deve ser menor que $d=9$, então $c < 9$. Não serve. Se