Considere o polinômio p definido por: p(x) = x² + 2 ∙ (n + 2) ∙ x + 9n. Se as raízes de p(x) = 0 são iguais, os valores de n são:
Alternativas
A)
1 e 4.
B)
2 e 3.
C)
-1 e 4.
D)
2 e 4.
E)
1 e -4.
Gabarito e comentário
Resposta correta: A
Para que as raízes sejam iguais, o discriminante Δ = b² − 4ac deve ser zero. Aqui a = 1, b = 2(n+2) e c = 9n, então Δ = [2(n+2)]² − 4·1·9n = 4[(n+2)² − 9n] = 4[n² − 5n + 4] = 4(n−1)(n−4). Logo Δ = 0 ⇔ (n−1)(n−4) = 0, daí n = 1 ou n = 4. Portanto a alternativa A (1 e 4) está correta. Como checagem rápida: para n = 1 temos p(x) = x² + 6x + 9 = (x+3)²; para n = 4 temos p(x) = x² + 12x + 36 = (x+6)², ambas com raiz dupla. As outras alternativas são erradas porque contêm pelo menos um valor de n que não zera o discriminante (por exemplo, 2, 3, −1, −4), portanto nesses casos as raízes não são iguais. Somente n = 1 e n = 4 satisfazem Δ = 0.
Para que as raízes sejam iguais, o discriminante Δ = b² − 4ac deve ser zero. Aqui a = 1, b = 2(n+2) e c = 9n, então Δ = [2(n+2)]² − 4·1·9n = 4[(n+2)² − 9n] = 4[n² − 5n + 4] = 4(n−1)(n−4). Logo Δ = 0 ⇔ (n−1)(n−4) = 0, daí n = 1 ou n = 4. Portanto a alternativa A (1 e 4) está correta. Como checagem rápida: para n = 1 temos p(x) = x² + 6x + 9 = (x+3)²; para n = 4 temos p(x) = x² + 12x + 36 = (x+6)², ambas com raiz dupla. As outras alternativas são erradas porque contêm pelo menos um valor de n que não zera o discriminante (por exemplo, 2, 3, −1, −4), portanto nesses casos as raízes não são iguais. Somente n = 1 e n = 4 satisfazem Δ = 0.