CFAQ/MOC/MOM — Moço de Máquinas (MOM) — Máximo divisor comum aplicado à divisão do perímetro (postes igualmente espaçados) — 2025
Banca
CFAQ/MOC/MOM
Órgão
CFAQ/MOC/MOM
Prova
CFAQ/MOC/MOM — Moço de Máquinas (MOM) — 2025
Ano
2025
Disciplina
Matemática
Assunto
Máximo divisor comum aplicado à divisão do perímetro (postes igualmente espaçados)
Cargo
Moço de Máquinas (MOM)
Enunciado
Foram colocados postes igualmente espaçados em torno de um campo triangular cujos lados medem 120m, 270m e 300m respectivamente. Sabendo que há um poste em cada vértice e a distância entre cada poste é a maior possível, determine a quantidade de postes que foram colocados.
Alternativas
A)
23
B)
25
C)
26
D)
34
E)
36
Gabarito e comentário
Resposta correta: C
Para que a distância entre os postes seja a maior possível e eles estejam igualmente espaçados, essa distância deve ser o Máximo Divisor Comum (MDC) dos comprimentos dos lados do triângulo. Os lados medem 120m, 270m e 300m. Vamos calcular o MDC(120, 270, 300): Fatorando os números: $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ $270 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$ $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$ O MDC é o produto dos fatores comuns com o menor expoente: $MDC(120, 270, 300) = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ A distância entre cada poste é de 30m. Agora, calculamos o número de postes em cada lado. O número de postes em um lado de comprimento $L$ com espaçamento $d$ é $L/d + 1$. No entanto, como os postes dos vértices são contados em dois lados, e a pergunta pede o total de postes, é mais fácil calcular o perímetro e dividir pelo espaçamento. Perímetro do triângulo: $P = 120 + 270 + 300 = 690$m. O número total de espaços é $P / d = 690 / 30 = 23$. Como há um poste em cada vértice e os postes são igualmente espaçados ao longo do perímetro, o número de postes é igual ao número de espaços.
Para que a distância entre os postes seja a maior possível e eles estejam igualmente espaçados, essa distância deve ser o Máximo Divisor Comum (MDC) dos comprimentos dos lados do triângulo. Os lados medem 120m, 270m e 300m. Vamos calcular o MDC(120, 270, 300): Fatorando os números: $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ $270 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$ $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$ O MDC é o produto dos fatores comuns com o menor expoente: $MDC(120, 270, 300) = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ A distância entre cada poste é de 30m. Agora, calculamos o número de postes em cada lado. O número de postes em um lado de comprimento $L$ com espaçamento $d$ é $L/d + 1$. No entanto, como os postes dos vértices são contados em dois lados, e a pergunta pede o total de postes, é mais fácil calcular o perímetro e dividir pelo espaçamento. Perímetro do triângulo: $P = 120 + 270 + 300 = 690$m. O número total de espaços é $P / d = 690 / 30 = 23$. Como há um poste em cada vértice e os postes são igualmente espaçados ao longo do perímetro, o número de postes é igual ao número de espaços.