Enunciado
Em uma escola, os alunos de duas turmas estão organizados para realizar uma competição de leitura. A turma A tem 120 livros e a turma B tem 180 livros. Eles decidiram dividir os livros em pacotes de forma que cada pacote tenha o mesmo número de livros e o número de pacotes seja o maior possível para ambas as turmas. Qual é o número máximo de livros que cada pacote pode ter? (a) 15 (b) 30 (c) 45 (d) 60 (e) 90
Alternativas
- A)
15
- B)
30
- C)
45
- D)
60
- E)
90
Gabarito e comentário
Resposta correta: D
Para encontrar o número máximo de livros que cada pacote pode ter, de forma que os livros de ambas as turmas sejam divididos em pacotes com o mesmo número de livros, precisamos calcular o Máximo Divisor Comum (MDC) entre o número de livros da turma A (120) e o número de livros da turma B (180). 1. **Fatoração em números primos de 120:** $120 = 2 \times 60 = 2 \times 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 2 \times 15 = 2^3 \times 3 \times 5$ 2. **Fatoração em números primos de 180:** $180 = 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 45 = 2 \times 2 \times 3 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ 3. **Cálculo do MDC:** O MDC é o produto dos fatores primos comuns, elevados aos seus menores expoentes. Fatores comuns: $2$, $3$, $5$ Menor expoente de $2$: $2^2$ Menor expoente de $3$: $3^1$ Menor expoente de $5$: $5^1$ $MDC(120, 180) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$ Portanto, o número máximo de livros que cada pacote pode ter é 60. Gabar