Um marinheiro tem duas cordas de 48 m e 64 m e deseja cortá-las em pedaços de mesmo comprimento, sem sobras. Qual o maior tamanho possível desses pedaços?
Alternativas
A)
8 m
B)
12 m
C)
16 m
D)
24 m
E)
32 m
Gabarito e comentário
Resposta correta: C
Para encontrar o maior tamanho possível dos pedaços, sem sobras, devemos determinar o Máximo Divisor Comum (MDC) entre os comprimentos das duas cordas, 48 m e 64 m. 1. **Fatoração em números primos de 48:** $48 = 2 \times 24 = 2 \times 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3^1$ 2. **Fatoração em números primos de 64:** $64 = 2 \times 32 = 2 \times 2 \times 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 8 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^6$ 3. **Cálculo do MDC:** O MDC é o produto dos fatores primos comuns, elevados aos seus menores expoentes. Os fatores primos comuns são apenas o 2. O menor expoente de 2 entre $2^4$ e $2^6$ é 4. $\text{MDC}(48, 64) = 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ Portanto, o maior tamanho possível de cada pedaço é 16 metros. Gabarito: C
Para encontrar o maior tamanho possível dos pedaços, sem sobras, devemos determinar o Máximo Divisor Comum (MDC) entre os comprimentos das duas cordas, 48 m e 64 m. 1. **Fatoração em números primos de 48:** $48 = 2 \times 24 = 2 \times 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3^1$ 2. **Fatoração em números primos de 64:** $64 = 2 \times 32 = 2 \times 2 \times 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 8 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^6$ 3. **Cálculo do MDC:** O MDC é o produto dos fatores primos comuns, elevados aos seus menores expoentes. Os fatores primos comuns são apenas o 2. O menor expoente de 2 entre $2^4$ e $2^6$ é 4. $\text{MDC}(48, 64) = 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ Portanto, o maior tamanho possível de cada pedaço é 16 metros. Gabarito: C